Jak řešit neúplné kvadratické rovnice?

Jak řešit neúplné kvadratické rovnice? Ne vždy v rovnici najdete všechny členy. Tyto příklady se řeší mnohem rychleji rozkladem nebo odmocněním. Chybí lineární člen (b = 0): 5x² - 20 = 0 → 5x² = 20 → x² = 4 → x = ±2. Chybí absolutní člen (c = 0): 4x² + 12x = 0. Vytkneme x: 4x(x + 3) = 0. Kořeny jsou přímo x₁ = 0 a x₂ = -3. Nejčastější chyba: Zapomínání na záporný kořen u typu x² = 4. Výsledek není jen 2, ale i -2!

Jak řešit kvadratické nerovnice?

Jak řešit kvadratické nerovnice? U kvadratické nerovnice nehledáme jen body, ale celé intervaly hodnot. Postup řešení: 1. Převeďte nerovnici na tvar s nulou na pravé straně. 2. Najděte kořeny, jako by to byla rovnice. 3. Načrtněte si parabolu nebo použijte metodu nulových bodů. Kvadratické nerovnice příklad: x² - 25 > 0. Kořeny jsou 5 a -5. Protože hledáme hodnoty větší než nula, řešením jsou vnější intervaly: x ∈ (-∞, -5) ∪ (5, +∞).

Procvičování kvadratických rovnic: Příklady s řešením, postupy a teorie

Q: Co je to kvadratická rovnice?

Co je to kvadratická rovnice? Kvadratická rovnice je taková rovnice, ve které neznámá (nejčastěji x) vystupuje ve druhé mocnině (x²). Právě tato dvojka nad ikskem dělá rovnici kvadratickou a určuje, že jejím grafem je parabola. V základním tvaru vypadá vždy takto: ax² + bx + c = 0. Proč se jí tak říká? Název pochází z latinského slova quadratum (čtverec), protože druhá mocnina představuje obsah čtverce. Z čeho se skládá? Kvadratický člen (ax²) - ten v rovnici musí být vždy, jinak by to nebyla kvadratická rovnice. Určuje, jak moc bude graf rozevřený. Lineární člen (bx) - ovlivňuje posun rovnice. Absolutní člen (c) - je to prosté číslo bez neznámé. Na grafu nám říká, kde parabola protíná osu y. Příklad z reálného života: Když vykopnete fotbalový míč nebo hodíte kamenem, dráha jeho letu opisuje křivku, kterou vypočítáte právě pomocí kvadratické rovnice.

Q: Jak vypočítat diskriminant u kvadratické rovnice?

Jak vypočítat diskriminant u kvadratické rovnice? Pro rovnice, které mají všechny tři členy (např. 3x² - 5x - 2 = 0), používáme nejčastěji metodu přes diskriminant. Diskriminant vzorec: D = b² - 4ac. Jak se počítá diskriminant a jeho kořeny? Výsledek diskriminantu nám okamžitě řekne, kolik bude mít rovnice řešení: 1. D > 0: Rovnice má dva různé reálné kořeny. Vzorec pro kořeny: x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a). 2. D = 0: Rovnice má jeden dvojnásobný kořen. 3. D < 0: Rovnice nemá v reálných číslech řešení (x ∈ ∅). Příklad z praxe: x² + 4x - 45 = 0. D = 4² - 4 · 1 · (-45) = 16 + 180 = 196. √D = 14. x₁ = 5, x₂ = -9. Tip: Pokud vám vyjde diskriminant, ze kterého nejde snadno odmocnit celé číslo, pravděpodobně jste udělali chybu v znaménku u členu a nebo c.

Q: Jak používat Vietovy vzorce?

Jak používat Vietovy vzorce? Někdy nemusíte zdlouhavě počítat diskriminant. Vietovy vzorce vám umožní najít kořeny z hlavy, zejména pokud a = 1. Vzorce: 1. x₁ + x₂ = -b. 2. x₁ · x₂ = c. Vietovy vzorce příklad: x² - 14x + 49 = 0. Hledáme čísla, jejichž součin je 49 a součet 14. Je to 7 · 7. Kořenem je tedy x = 7.

Q: Jak řešit rovnice s absolutní hodnotou a zlomky?

Jak řešit rovnice s absolutní hodnotou a zlomky? Složitější kvadratické rovnice často obsahují absolutní hodnotu nebo neznámou ve jmenovateli. Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou: Rozdělte rovnici na intervaly podle toho, kdy je výraz v absolutní hodnotě kladný a kdy záporný (např. |x² - 3x| = 4). Neznámá ve jmenovateli: Nezapomeňte na podmínky řešitelnosti! Jmenovatel se nikdy nesmí rovnat nule. Neznámá ve jmenovateli příklad: (x² - 4)/(x² - 1) < 0. Zde sledujeme znaménka čitatele i jmenovatele. Řešením je x ∈ (-2, -1) ∪ (1, 2).

Kvadratická rovnice je taková rovnice, ve které neznámá (x) vystupuje ve druhé mocnině (x²).je taková rovnice, ve které neznámá (x) vystupuje ve druhé mocnině (x²). Řeší se diskriminantem nebo Vietovými vzorci.

Kvadratické rovnice příklady

Klasické kvadratické rovnice - řešení pomocí diskriminantu.

$3x^2 - 5x - 2 = 0$

$5x^2 - 20 = 0$

$2x^2 - x - 3 = 0$

$(x+4)(x-4) = 2x - 1$

$\frac{x+2}{x-2} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{5}{2}$

$x^2 + 4x - 45 = 0$

$4x^2 + 12x = 0$

$x^2 - 0{,}4x - 0{,}12 = 0$

$(2x-3)^2 = 8x + 9$

$\frac{4}{x+3} + \frac{2}{x-3} = 1$

$x^2 - 14x + 49 = 0$

$x^2 + 5x + 10 = 0$

$10 - 2x^2 = 18$

$x(x+5) = (2x-1)(x+2) + 2$

$(x-2)^2 + (x+3)^2 = 25$

Top DOUČOVÁNÍ na PŘIJÍMAČKY na poslední chvíli

Ještě si nezačal a nevíš jak začít s přípravou na přijímačky? Už se připravuješ, ale není to ono? Nebo chceš matiku konečně pochopit a zlepšit si tak známky?

Žádné kurzy ani appky – klasické doučování online nebo osobně.

ZŠ, SŠ i gymnázia

Testy na nečisto

První lekce ZDARMA

Garance vrácení ceny

Zjistit více

Honza M.

Úspěšně připravil 20+ studentů na přijímačky

Kvadratické nerovnice příklady

Nerovnice druhého stupně - hledání intervalů řešení.

$x^2 - 25 > 0$

$x^2 + 2x + 5 < 0$

$x^2 + 8x + 20 \ge 0$

$2x^2 - 5x + 2 < 0$

$4x^2 - 1 > 0$

$x^2 + 3x - 10 \le 0$

$x^2 - 6x + 9 > 0$

$(x-3)(x+7) < 0$

$x^2 + 10 > -7x$

$-2x^2 + x + 1 \le 0$

$-x^2 + 5x - 4 \ge 0$

$3x^2 \le 12x$

$x(x-4) \ge 3x - 10$

$(x+1)^2 \le 4$

$x^2 - 4x + 4 \le 0$

Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou příklady

Rovnice s absolutní hodnotou - pomocí substituce nebo nulových bodů.

$x^2 + 2|x| - 15 = 0$

$x^2 + |x-2| = 2$

$|x^2 - 1| = x + 1$

$|x^2 - 6x + 8| = 1$

$x^2 - 4|x| = 0$

$|x^2 - 3x| = 4$

$|x^2 + 4x| = 5$

$(|x| - 2)^2 = 9$

$2x^2 - |x| - 1 = 0$

$|x+1|^2 - 2|x+1| - 3 = 0$

$x^2 - 5|x| + 6 = 0$

$x^2 - |x| - 12 = 0$

$x^2 + 3x + |2x + 6| = 0$

$|x^2 - 4| = x^2 - 4$

$|x^2 - 2x| = |x|$

Top DOUČOVÁNÍ na PŘIJÍMAČKY na poslední chvíli

Ještě si nezačal a nevíš jak začít s přípravou na přijímačky? Už se připravuješ, ale není to ono? Nebo chceš matiku konečně pochopit a zlepšit si tak známky?

Žádné kurzy ani appky – klasické doučování online nebo osobně.

ZŠ, SŠ i gymnázia

Testy na nečisto

První lekce ZDARMA

Garance vrácení ceny

Zjistit více

Honza M.

Úspěšně připravil 20+ studentů na přijímačky

Kvadratické nerovnice s neznámou ve jmenovateli příklady

Nerovnice s neznámou ve jmenovateli - pozor na definiční obor.

$\frac{x^2-4}{x^2-1} < 0$

$\frac{1-x^2}{x^2-4x} > 0$

$\frac{4}{x} + \frac{x}{1} \ge 4$

$\frac{2}{x^2-1} < 1$

$\frac{x^2-4x+3}{x^2-6x+8} \le 0$

$\frac{x^2+2x+1}{x^2-5x+6} \ge 0$

$\frac{x^2-5x+4}{x-2} \le 0$

$\frac{(x-1)^2}{x^2-16} \le 0$

$\frac{x^2+4}{x^2-4x} < 0$

$\frac{x^2}{x-1} > 4$

$\frac{x^2-3x}{x^2+1} \le 0$

$\frac{x^2+x+1}{x^2-9} < 0$

$\frac{x^2-7x+10}{x^2-10x+25} > 0$

$\frac{x^2-2x+1}{x^2+3x+2} \ge 0$

$\frac{-x^2+2x+3}{x^2+1} \ge 0$

Kvadratické nerovnice s absolutní hodnotou příklady

Nerovnice s absolutní hodnotou - kombinace metod.

$x^2 - 4 < 3$

$x^2 + 3|x| + 2 < 0$

$x^2 - 4|x| + 1 < 0$

$|x^2 - 4| > 3$

$\frac{|x|}{x^2-4} \ge 0$

$x^2 - 2|x| - 3 \ge 0$

$|x^2 - 5x + 6| < x - 2$

$\frac{|x^2-1|}{x+2} \le 1$

$x^2 - 3|x-1| \le 3$

$|x^2 - 3| \le 1$

$|x^2 + x| \le 2$

$|x^2 - 1| \ge 0{,}5$

$|x^2 - 2x| < x$

$|x^2 + 4x| < 5$

$2x^2 - |x-1| > 0$

Procvičení všech typů příkladů na kvadratické rovnice

Procvič všechny typy kvadratických rovnic dohromady. Sám urči, jaký postup zvolit.

$3x^2 - 5x - 2 = 0$

$5x^2 - 20 = 0$

$x^2 - 25 > 0$

$x^2 + 2|x| - 15 = 0$

$\frac{x^2-4}{x^2-1} < 0$

$x^2 - 4 < 3$

$2x^2 - x - 3 = 0$

$x^2 + 2x + 5 < 0$

$x^2 + |x-2| = 2$

$\frac{1-x^2}{x^2-4x} > 0$

$x^2 + 3|x| + 2 < 0$

$4x^2 + 12x = 0$

$x^2 + 8x + 20 \ge 0$

$|x^2 - 1| = x + 1$

$\frac{4}{x} + \frac{x}{1} \ge 4$

Top DOUČOVÁNÍ na PŘIJÍMAČKY na poslední chvíli

Ještě si nezačal a nevíš jak začít s přípravou na přijímačky? Už se připravuješ, ale není to ono? Nebo chceš matiku konečně pochopit a zlepšit si tak známky?

Žádné kurzy ani appky – klasické doučování online nebo osobně.

ZŠ, SŠ i gymnázia

Testy na nečisto

První lekce ZDARMA

Garance vrácení ceny

Zjistit více

Honza M.

Úspěšně připravil 20+ studentů na přijímačky

Kvadratická rovnice je rovnice, kde neznámá vystupuje ve druhé mocnině (např. x² + 2x - 3 = 0). Řešíme ji diskriminantem, Vietovými vzorci nebo rozkladem.

Co je to kvadratická rovnice?

Kvadratická rovnice je taková rovnice, ve které neznámá (nejčastěji $x$ ) vystupuje ve druhé mocnině ( $x^2$ ). Právě tato "dvojka" nad ikskem dělá rovnici kvadratickou a určuje, že jejím grafem je parabola.

V základním tvaru vypadá vždy takto:

ax^2 + bx + c = 0

Proč se jí tak říká?

Název pochází z latinského slova quadratum (čtverec), protože druhá mocnina představuje obsah čtverce.

Z čeho se skládá?

Kvadratický člen ( $ax^2$ ): Ten v rovnici musí být vždy, jinak by to nebyla kvadratická rovnice. Určuje, jak moc bude graf "rozevřený". Zároveň nezapomeň, že $a \neq 0$ , pak by rovnice ztratila svůj kvadratický člen. Jinak může být $a$ jakékoliv reálné číslo.
Lineární člen rovnice ( $bx$ ): Ovlivňuje posun rovnice. Může být jakékoliv číslo, i nula.
Absolutní člen ( $c$ ): Je to prosté číslo bez neznámé. Na grafu říká, kde parabola protíná osu $y$ . Opět může být jakékoliv číslo, i nula.

Příklad z reálného života:

Když vykopnete fotbalový míč nebo hodíte kamenem, dráha jeho letu opisuje křivku, kterou vypočítáte právě pomocí kvadratické rovnice.

1Jak vypočítat diskriminant u kvadratické rovnice?

Pro rovnice, které mají všechny tři členy (např. $3x^2 - 5x - 2 = 0$ ), používáme nejčastěji metodu přes diskriminant.

Diskriminant vzorec:

D = b^2 - 4ac

Jak se počítá diskriminant a jeho kořeny?

Výsledek diskriminantu nám okamžitě řekne, kolik bude mít rovnice řešení:

$D > 0$ : Rovnice má dva různé reálné kořeny. Vzorec pro kořeny: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$D = 0$ : Rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
$D < 0$ : Rovnice nemá v reálných číslech řešení ( $x \in \emptyset$ ).

Příklad z praxe:

x^2 + 4x - 45 = 0

D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196

\sqrt{D} = 14

x_1 = 5, \quad x_2 = -9

Tip: Pokud vám vyjde diskriminant, ze kterého nejde snadno odmocnit celé číslo, pravděpodobně jste udělali chybu v znaménku u členu $a$ nebo $c$ .

2Jak používat Vietovy vzorce?

Někdy nemusíte zdlouhavě počítat diskriminant. Vietovy vzorce vám umožní najít kořeny „z hlavy", pokud 𝑎 = 1 a=1. (Pokud není, nezapomeň že můžeš celou rovnici vydělit 𝑎 ) $a=1$ .

Vzorce:

$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = c$

Vietovy vzorce příklad:

x^2 - 14x + 49 = 0

Hledáme čísla, jejichž součin je 49 a součet 14. Je to $7 \cdot 7$ . Kořenem je tedy $x = 7$ .

3Jak řešit příklady neúplných kvadratických rovnic?

Ne vždy v rovnici najdete všechny členy. Tyto příklady se řeší mnohem rychleji rozkladem nebo odmocněním.

Chybí lineární člen ( $b=0$ ):

5x^2 - 20 = 0

5x^2 = 20 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2

Chybí absolutní člen ( $c=0$ ):

4x^2 + 12x = 0

Vytkneme $x$ : $4x(x + 3) = 0$

Kořeny jsou přímo $x_1 = 0$ a $x_2 = -3$ .

Nejčastější chyba: Zapomínání na záporný kořen u typu $x^2 = 4$ . Výsledek není jen $2$ , ale i $-2$ !

4Jak řešit příklady kvadratických nerovnic?

U kvadratické nerovnice nehledáme jen body, ale celé intervaly hodnot.

Postup řešení:

Převeďte nerovnici na tvar s nulou na pravé straně.
Najděte kořeny, jako by to byla rovnice.
Načrtněte si parabolu nebo použijte metodu nulových bodů.

Kvadratické nerovnice příklad:

x^2 - 25 > 0

Kořeny jsou $5$ a $-5$ .

Protože hledáme hodnoty větší než nula, řešením jsou vnější intervaly:

x \in (-\infty, -5) \cup (5, \infty)

5Jak řešit příklady rovnic s absolutní hodnotou a zlomky?

Složitější příklady kvadratických rovnic často obsahují absolutní hodnotu nebo neznámou ve jmenovateli.

Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou

Rozdělte rovnici na intervaly podle toho, kdy je výraz v absolutní hodnotě kladný a kdy záporný (např. $|x^2 - 3x| = 4$ ).

Neznámá ve jmenovateli:

Nezapomeňte na podmínky řešitelnosti! Jmenovatel se nikdy nesmí rovnat nule.

Neznámá ve jmenovateli příklad:

\frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} < 0

Zde sledujeme znaménka čitatele i jmenovatele.

Řešením je $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$ .

Podpořeno autoritou – Mgr. Ondřej Hospodka

Náš obsah kontroluje učitel matematiky Mgr. Ondřej Hospodka známý z Youtubového kanálu Zápisky z matiky a fyziky.

Zápisky z matiky a fyziky LinkedIn Web

Pro učitele: Kvadratické rovnice pracovní list ke stažení PDF

Stáhněte si příklady na kvadratické rovnice ve formátu PDF.

Naše příklady jsou vytvářeny se zachováním standardů RVP a dodržováním pravidel MŠMT. Zároveň jsme jejich úroveň přizpůsobili náročnosti maturitních sbírek, jako je například J. Petáková.

Příklady přidány: 8. ledna 2026

Procvičování kvadratických rovnic: Příklady s řešením, postupy a teorie

Kvadratické rovnice příklady

Top DOUČOVÁNÍ na PŘIJÍMAČKY na poslední chvíli

Kvadratické nerovnice příklady

Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou příklady

Top DOUČOVÁNÍ na PŘIJÍMAČKY na poslední chvíli

Kvadratické nerovnice s neznámou ve jmenovateli příklady

Kvadratické nerovnice s absolutní hodnotou příklady

Procvičení všech typů příkladů na kvadratické rovnice

Top DOUČOVÁNÍ na PŘIJÍMAČKY na poslední chvíli

Kvadratické rovnice: Kompletní průvodce

Co je to kvadratická rovnice?

Proč se jí tak říká?

Z čeho se skládá?

Příklad z reálného života:

1Jak vypočítat diskriminant u kvadratické rovnice?

Diskriminant vzorec:

Jak se počítá diskriminant a jeho kořeny?

Příklad z praxe:

2Jak používat Vietovy vzorce?

Vzorce:

Vietovy vzorce příklad:

3Jak řešit příklady neúplných kvadratických rovnic?

Chybí lineární člen ( $b=0$ ):

Chybí absolutní člen ( $c=0$ ):

4Jak řešit příklady kvadratických nerovnic?

Postup řešení:

Kvadratické nerovnice příklad:

5Jak řešit příklady rovnic s absolutní hodnotou a zlomky?

Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou

Neznámá ve jmenovateli:

Neznámá ve jmenovateli příklad:

Podpořeno autoritou – Mgr. Ondřej Hospodka

Pro učitele: Kvadratické rovnice pracovní list ke stažení PDF

Napište nám zpětnou vazbu

Procvičování kvadratických rovnic: Příklady s řešením, postupy a teorie

Top DOUČOVÁNÍ na PŘIJÍMAČKY na poslední chvílizískání sebevědomí v maticezlepšení známekPŘIJÍMAČKY na poslední chvíli

Top DOUČOVÁNÍ na PŘIJÍMAČKY na poslední chvílizískání sebevědomí v maticezlepšení známekPŘIJÍMAČKY na poslední chvíli

Top DOUČOVÁNÍ na PŘIJÍMAČKY na poslední chvílizískání sebevědomí v maticezlepšení známekPŘIJÍMAČKY na poslední chvíli

Kvadratické rovnice: Kompletní průvodce

Co je to kvadratická rovnice?

Proč se jí tak říká?

Z čeho se skládá?

Příklad z reálného života:

1Jak vypočítat diskriminant u kvadratické rovnice?

Diskriminant vzorec:

Jak se počítá diskriminant a jeho kořeny?

Příklad z praxe:

2Jak používat Vietovy vzorce?

Vzorce:

Vietovy vzorce příklad:

3Jak řešit příklady neúplných kvadratických rovnic?

Chybí lineární člen (b=0b=0b=0):

Chybí absolutní člen (c=0c=0c=0):

4Jak řešit příklady kvadratických nerovnic?

Postup řešení:

Kvadratické nerovnice příklad:

5Jak řešit příklady rovnic s absolutní hodnotou a zlomky?

Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou

Neznámá ve jmenovateli:

Neznámá ve jmenovateli příklad:

Podpořeno autoritou – Mgr. Ondřej Hospodka

Pro učitele: Kvadratické rovnice pracovní list ke stažení PDF

Napište nám zpětnou vazbu

Top DOUČOVÁNÍ na PŘIJÍMAČKY na poslední chvíli

Top DOUČOVÁNÍ na PŘIJÍMAČKY na poslední chvíli

Top DOUČOVÁNÍ na PŘIJÍMAČKY na poslední chvíli

Chybí lineární člen ( $b=0$ ):

Chybí absolutní člen ( $c=0$ ):